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第 203 章 绝对值之妙理

数日又过,戴浩文再登讲堂,欲授学子以绝对值之概念。其容端肃,目光深邃,执一卷书,缓声道:“今日吾与汝等研讨绝对值之妙理,望尔等倾心聆听,用心领悟。”

言罢,于黑板之上书一数字,曰:“此数为负三,其绝对值为何?”

众学子面面相觑,稍作思索。一胆大之学子起身答曰:“先生,负三之绝对值为三。”

戴浩文微微点头,曰:“善。绝对值者,乃数于数轴之上距零之距离也。不论正负,其距零之距恒为正,此乃绝对值之要义。”

遂又书数“正五”,问曰:“此数之绝对值若何?”

众学子齐声应曰:“亦为五。”

戴浩文笑曰:“诚然。吾再举一例,若有一数为零,其绝对值又当如何?”

一聪慧学子抢答曰:“先生,零之绝对值即为零也。”

戴浩文抚掌赞曰:“妙哉!汝等已初窥门径。今思之,若有数负七,其绝对值之算式当如何书?”

学子们纷纷动笔,片刻后,一生答曰:“当书为| - 7 | = 7 。”

戴浩文曰:“善。吾再出一题,若知一数之绝对值为八,此数可为几何?”

堂下一时静谧,少顷,有学子言道:“先生,此数可为正八或负八。”

戴浩文曰:“极是。由此可见,知绝对值而求原数,当有两解,一正一负。”

又书一题:“若 | x - 2 | = 5 ,求 x 之值。”

众学子陷入沉思,纷纷推演计算。一学子起身道:“先生,若 x - 2 为正,则 x - 2 = 5 ,x 为 7 ;若 x - 2 为负,则 x - 2 = -5 ,x 为 -3 。”

戴浩文欣然曰:“善。再观此题,若 | 2x + 3 | = 7 ,又当如何求解?”

学子们分组讨论,各抒己见。须臾,有一组代表起身曰:“先生,若 2x + 3 为正,则 2x + 3 = 7 ,解得 x 为 2 ;若 2x + 3 为负,则 2x + 3 = -7 ,解得 x 为 -5 。”

戴浩文点头曰:“不错。绝对值之理,于方程求解中多有应用。今再思之,若 | x | < 3 ,则 x 之取值范围若何?”

众学子苦思冥想,一学子曰:“先生,此意为 x 距零之距离小于三,故 x 大于负三而小于正三。”

戴浩文曰:“善。若 | x | > 5 ,又当如何?”

一生应曰:“先生,此则为 x 小于负五或 x 大于正五。”

戴浩文曰:“妙极。吾再出一题稍难者。若 | 3x - 1 | ≤ 4 ,求 x 之范围。”

学子们奋笔疾书,演算良久。一学子上台板书其解:“若 3x - 1 为正,则 3x - 1 ≤ 4 ,解得 x ≤ 5 \/ 3 ;若 3x - 1 为负,则 3x - 1 ≥ -4 ,解得 x ≥ -1 。故 x 大于等于负一且小于等于五分之三。”

戴浩文微笑曰:“甚好。绝对值之概念,亦用于不等式之求解,需谨慎分析,莫出差错。”

又曰:“今有一数轴,点 A 对应之数为 x ,其绝对值为 2 ,点 b 对应之数为 y ,其绝对值为 3 ,且点 A 在点 b 之左,求 x 、 y 可能之值及 A 、 b 两点间距。”

众学子沉思片刻,纷纷作答。一学子言:“先生, x 可为正负 2 , y 可为正负 3 。因点 A 在点 b 之左,故当 x 为 2 时, y 为 3 ,间距为 1 ;当 x 为 -2 时, y 为 3 ,间距为 5 ;当 x 为 2 时, y 为 -3 ,间距为 5 ;当 x 为 -2 时, y 为 -3 ,间距为 1 。”

戴浩文曰:“甚是详尽。绝对值之理,于数轴之上,可明数之位置与距离,颇有用处。”

继而再出一题:“若 | a + 1 | + | b - 2 | = 0 ,求 a 、 b 之值。”

众学子交头接耳,议论纷纷。一学子起身曰:“先生,绝对值皆为非负,二者之和为零,则 | a + 1 | = 0 且 | b - 2 | = 0 ,故 a 为 -1 , b 为 2 。”

戴浩文抚须曰:“聪慧!此类题需明绝对值之非负性。”

时光渐逝,日已偏西,戴浩文曰:“今日所讲绝对值之概念,尔等当反复温习,多加思索。明日吾将再考汝等。”

众学子行礼而退,皆心有所思。

次日,戴浩文复至讲堂,先回顾昨日所学,而后又出数题。

“若 | x - 3 | + | x + 2 | = 7 ,求 x 之值。”

学子们静心思考,逐一演算。

一学子上前作答:“先生,当分三段讨论。若 x 小于等于 -2 ,则 3 - x - x - 2 = 7 ,解得 x = -3 ;若 x 大于 -2 且小于 3 ,则 3 - x + x + 2 ≠ 7 ,无解;若 x 大于等于 3 ,则 x - 3 + x + 2 = 7 ,解得 x = 4 。”

戴浩文曰:“善。再看此题,若 | 2x - 1 | - | x + 3 | = 2 ,求 x 之范围。”

众学子分组探讨,各抒己见。

一组代表起身言曰:“先生,亦当分段讨论。若 x 小于等于 -3 ,则 1 - 2x + x + 3 = 2 ,解得 x = 2 ,不合条件;若 x 大于 -3 且小于 1 \/ 2 ,则 1 - 2x - x - 3 = 2 ,解得 x = -4 \/ 3 ;若 x 大于等于 1 \/ 2 ,则 2x - 1 - x - 3 = 2 ,解得 x = 6 。”

戴浩文点头曰:“不错。此类题需细心思量,莫漏解也。”

又出一题:“若关于 x 之方程 | 3x - 5 | = m 有解,求 m 之取值范围。”

一学子应曰:“先生,因绝对值非负,故 m 大于等于零方程有解。”

戴浩文曰:“然也。再思此题,若关于 x 之不等式 | 2x + 1 | > a 恒成立,求 a 之范围。”

一生答曰:“先生,因 | 2x + 1 | 最小值为零,故 a 小于零不等式恒成立。”

戴浩文笑曰:“妙哉!汝等悟性颇高。”

如此数日,戴浩文以种种实例,令学子们对绝对值之概念与应用愈发精通。

或有一题:“已知 | x - 1 | + | y + 2 | = 0 ,且 2x + 3y + z = 10 ,求 z 之值。”

众学子深思熟虑,终得答案。

戴浩文一一评点,使众人皆有所获。

又有:“若 | x - 2 | + | 2x - 1 | = 5 ,求 x 之值。”

学子们争论不休,各执一词,最终在戴浩文的引导下,得出正解。

光阴似箭,学子们于绝对值之研学中渐入佳境。

一日,戴浩文考校学子,见众人应答如流,心甚慰之。

曰:“汝等学业有成,然不可骄矜,数学之道,广袤无垠,当持之以恒,上下求索。”

众学子躬身行礼,谨遵师训。

自此,学子们怀绝对值之理,续探数学之奥秘。

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